全画面表示にした状態で、全画面解除ボタンのみを非表示にすることはできません。

そのため類似の状態を再現するには、以下のような実装方法をお試しください。

①全画面表示かつボタン非表示の別ページにて再生する
→レスポンシブ(全画面表示)機能をオン、全画面表示ボタンを非表示にします。

＜参考＞
・再生方法を設定する ー ■ 最初からフルスクリーンで表示させたい
・【FAQ】画面中央の再生ボタンやコントロールパネルを非表示にしたい

②疑似フルスクリーン機能を使用した実装をする
→これは「fullscreen」ボタンを用意し、そのボタンをクリックすると、プレイヤーがレスポンシブ表示になる（疑似的にフルスクリーンのように見える）ように実装したサンプルです。
下記サンプルプログラムに、動画再生時にプレイヤーがレスポンシブ表示になるプログラムを追加したり、ボタン名を変更することも実装次第では可能です。

■疑似フルスクリーンのサンプル

ただ、上記のサンプルは全環境にて動作を保障するものではなく、サンプルプレイヤーを使ったご担当者様側サイトの構成等もサポートの対象外となりますので、あらかじめご理解いただけますようお願いいたします。